Question

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением параболы, заданной уравнением y^2=8x, вокруг оси Ох от x=2 до x=7

Answer 1

$S _{ox} =2 pi intlimits^a_b {y sqrt{1+(f`(x)) ^{2} } } , dx$

По условию задачи
$y= sqrt{8x}, \ f`(x)= frac{1}{2 sqrt{8x} }cdot8= frac{2}{ sqrt{2x} }$

$S _{ox} =2 pi intlimits^7_2 { sqrt{8x}cdot sqrt{1+ frac{4}{2x} } } } , dx = \ =2 pi intlimits^7_2 {2 sqrt{2x+4}} , dx =2 pi intlimits^7_2 {(2x+4) ^{ frac{1}{2} } } , d(2x +4)= \ =2 pi frac{(2x+4) ^{ frac{3}{2} } }{ frac{3}{2} } | _{2} ^{7} = frac{4 pi }{3} (18 ^{ frac{3}{2} } -8 ^{ frac{3}{2} }) = \ =frac{4 pi (54 sqrt{2}-16 sqrt{2}) }{3} = frac{152 pi sqrt{2} }{3}$