Question

решите дробно-рациональные уравнения
1) 1/x-5 - 1/x = 1, в ответе укажите сумму корней.
2) x -2= 4x-14/x-3
3)4/x^2 +4  + 5 / x^2 - 5 =2 
4) 3- 7x/ 2x+4 = 1,5 - 3,5x / x+2
5) x/x+1 + x+1/x+2 + x+2/x =3

Answer 1

1) $frac{1}{x-5} - frac{1}{x}=1$
Общ. знам.: x (x-5) ≠0
x - (x-5) = x(x-5)
x - x + 5 = x² - 5x
x² - 5x - 5 = 0
D = 25 + 20 = 45
x₁ = $frac{5+ sqrt{45} }{2}$
x₂= $frac{5- sqrt{45} }{2}$
x₁ + x₂ = $frac{5+ sqrt{45} }{2} + frac{5- sqrt{45} }{2} = frac{5+ sqrt{45}+5- sqrt{45} }{2} = frac{10}{2} =5$
Ответ: 5
2) $x-2= frac{4x-14}{x-3}$
Общ. знам.: x-3≠0
(x-2)(x-3) = 4x-14
x² - 3x - 2x + 6 = 4x - 14
x² - 9x + 20 = 0
D = 81-80=1
x₁ = (9+1) /2 = 5
x₂ = (9-1) / 2 = 4
Ответ: 5; 4
3) $frac{4}{ x^{2} +4} + frac{5}{ x^{2} -5}=2$
Общ. знам.: (x² + 4)(x² - 5) ≠ 0
4(x²-5) + 5(x²+ 4) = 2(x² +4) (x²-5)
4x² - 20 + 5x² + 20 = 2x⁴ - 10x² + 8x² - 40
2x⁴ -11x² - 40 = 0
x² = t; t≥0
2t² - 11t - 40 = 0
D = 121 + 320 = 441
t₁ = (11+21) / 4 = 8
t₂ = (11-21) / 4 = -2.5 не удов. усл.: t≥0
x² = 8
x₁ = $sqrt{8}=2 sqrt{2}$
x₂ = $-2 sqrt{2}$
Ответ: $2 sqrt{2} ;-2 sqrt{2}$
4) $frac{3-7x}{2x+4}= frac{1.5-3.5x}{x+2}$
$frac{3-7x}{2(x+2)} = frac{1.5-3.5x}{x+2}$
Общ. знам.: 2(x+2) ≠ 0
3-7x = 2*(1.5-3.5x)
3 - 7x = 3 - 7x
0 = 0
x - любое, НО  2(x+2)≠0  ⇒ x≠-2
x∈ (-беск.; -2) U (-2; +беск.)
Ответ: (-беск.; -2) U (-2; +беск.)
5) $frac{x}{x+1}+ frac{x+1}{x+2}+ frac{x+2}{x}=3$
Общ. знам.: x (x+1)(x+2) ≠ 0
x*x(x+2) + (x+1)(x+1)*x + (x+2)*(x+1)*(x+2) = 3x(x+1)(x+2)
x³ + 2x² + x*(x+1)² + (x+1)(x+2)² = 3x (x² + 2x + x + 2)
x³ + 2x² + x (x² + 2x + 1) + (x+1)(x²+4x+4) = 3x³ + 9x² + 6x
x³ + 2x² +x³ + 2x² +x + x³ + 4x² + 4x + x² + 4x+ 4 = 3x³ + 9x² + 6x
3x³  + 9x²  +9x + 4 = 3x³ + 9x² + 6x
3x = -4
x = $- frac{4}{3} =-1 frac{1}{3}$
Ответ: $-1 frac{1}{3}$