Question

Докажите что  при любых a,b,c уравнение имеет  2 решения или  не  имеет их вообще.
x^4+(2a+1-b^2)*x^3+a*x^2+|c-|a|^b |*x+|c+|b|^a |+1=0

Answer 1

    Положим что  корни уравнения равны   $x_{1};x_{2};x_{3} ; x_{4}$ 
 Тогда их сумма  равна    $-sqrt{2a+1-b^2}$ это 
  $x^4+sqrt{2a+1-b^2}x^3+ax^2-(c+|b|^a)x+|c-|a|^b|+1=0 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-sqrt{2a+1-b^2}\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=a\ x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4} + x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=|c+|a|^b|\ x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=|c-|b|^a|+1$ 
 Заметим что  сумма корней отрицательное число ,   а произведение корней  всегда положительное    число , значит   
 Либо два корня отрицательны , либо все  корни отрицательны 
 $x_{1},x_{2} , x_{3},x_{4} neq 0$ 
Рассмотрим    второй случаи 
Если   $x_{1},x_{2}<0$  без потери общности   можно взять $x_{3}>x_{4}>0$ 
 Из первого $b in [-sqrt{2a+1};sqrt{2a+1} ] \ a>-frac{1}{2}$ 
Из третьего  так как произведение всех корней отрицательно , значит  сумма   $S<0$  , но это не верно , так как стоит модуль , значит четыре корня   не может быть. 
Второй случаи ,  возможен , но не всегда  
 $x_{1};x_{2}<0$   по второму условию следует что 
  $a>0$ 
 По третьему 
 $x_{1}x_{2}x_{3}>0$ 
  Возможно когда  $x_{1}x_{2}x_{3} >x_{1}x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}$