Question

ABCD-выпуклый 4х-угольник, точки M и N- середины противолежащих сторон AB и CD соответственно. Известно, что MN=1/2(BC+AD). Следует ли из этого, что BC||AD?

Answer 1

Предположим что:
m=(a+b)/2 ,но a не  параллельно b
Сделаем вспомогательные построения:
Проведем  сторону  BQ=x параллельно m.
И  прямую AW=y параллельно m (она  же параллельна x)
По  теореме Фалеса  тк  AM=MB,то QN=NW=L
Тк  СN=ND,то   CQ=WD=m
На  продолжении AW отложим  отрезок равный  x.
Далее  из соответственных и вертикальных угол выходит что углы
DWZ и  BQC  равны. То  треугольники BQC и WDZ равны  по 2 сторонам  и углу между ними. То  DZ=BC=a.
То  по неравенству треугольника AZD:  (a+b)>(x+y)
Тк ABQW-трапеция,а m -ее средняя  линия,то
2m=(x+y).  По  предположению:    2m=(a+b)
То   (a+b)=(x+y)
Что  противоречит  неравенству : (a+b)>(x+y)
То  есть  мы пришли к противоречию.
Значит BC параллельно AD.
Это  решение я назвал (Офигенный   кораблик)

Answer 2

Я самоудовлетворен

Answer 3

:) И действительно интересное задание. Я сначало подумал что утверждюение неверно. И принялся искать контр пример. Но потом подумал : А что если оно справедливое? И тут и нагрянуло доказательство :)