Question

Докажи, что 2 в 55 степени + 1 кратно 33.

Answer 1

Надо доказать, что 2⁵⁵ + 1 делится на 32
33 = 32 + 1 = 2⁵ + 1
Пусть 2⁵ = х,
тогда
2⁵⁵ + 1 = х¹¹ + 1
2⁵ + 1 = х + 1
Разделим х¹¹ + 1 на х + 1
(х¹¹ + 1):(х + 1) = х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х
Таким образом,(х¹¹ + 1) = (х + 1)·( х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х)
или
(2⁵⁵ + 1) = (2⁵ + 1)·( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
или
(2⁵⁵ + 1) = 33·( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
и, окончательно
(2⁵⁵ + 1):33 =( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
Мы видим, что при делении (2⁵⁵ + 1):33 получается целое число
( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)
 т.е (2⁵⁵ + 1)делится на 33, что и требовалось доказать