Question

Частица массы m движется в плоскости XY по окружности радиуса r. Для заданного положения частицы определить момент импульса и момент действующих на неё сил относительно точки О. 


Помогите, пожалуйста. 

Answer 1

1. Момент сил, действующий на точку в данный момент времени дается выражением:
$vec M=[vec rtimes vec F]$.
С другой стороны, 
$vec F=mvec a=mfrac{v^2}{r}vec e_r+mvec a_tau$.
Подставим второе уравнение в первое.
$vec M = [vec rtimes(mfrac {v^2}{r}vec e_r+mvec a_{tau})]$
Модуль момента легко определить из определения векторного произведения:
$|vec M|=(mv^2+ma_tau r)cdot sin alpha$, где α - угол между силой и радиус-вектором.
Нарисовав два ускорения, легко видеть, что они ортогональны (то есть, между ними прямой угол). Тогда мы в праве применять теорему Пифагора для треугольника ускорений.
$sin alpha = frac{a_tau}{sqrt{frac{v^4}{r^2}+{a_tau}^2}}$
Осталось только подставить и получить ответ:
$boxed{vec M = m(v^2+a_tau r)cdot frac{a_tau}{sqrt{frac{v^4}{r^2+a_tau^2}}}cdot vec e_perp}$ (здесь последний множитель - орт, торчащий перпендикулярно из плоскости рисунка на нас).

2. Момент импульса определяется аналогичным образом:
$vec L = [vec rtimes vec p]$
Запишем импульс: 
$vec p = mvec v$
Подставим его в определение момента импульса и получим ответ:
$vec L = mcdot [vec rtimes vec v];\ boxed{|vec L| = mvrcdot vec e_perp}$

Answer 2

Спасибо. :) Мой препод офигеет от такого развёрнутого ответа. }:-)

Answer 3

Да не за что :3

Answer 4

е - это символическое обозначение орта (орт - это единичный вектор). так, скажем, е с индексом r - это единичный вектор, направленный к центру окржуности.

Answer 5

вы можете смело отбрасывать в обоих уравнениях в рамках вектор слева и е справа. кстати, в последнем уравнении модуль в левой части написан ошибочно, простите :)