Question

Для функции y=f(x) найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку M(a;b), если:

Answer 1

Для функции y=f(x) найдите первообразную F(x)? график которой проходит черезе точку М(а;b), если: $f(x)=x^{-3}+cosx$, где х∈(0;oo),M(0,5π;$- frac{1}{2 pi ^{2}}$);
Решение:
Найдем первообразную

$F(x)= int {(x^{-3}+cosx)} , dx = int {x^{-3}} , dx+ int {cosx} , dx = -frac{1}{2}x^{-2}+sinx+C$

Найдем значение С подставив значение координат точки М в уравнение первообразной

$F(x)= -frac{1}{2}x^{-2}+sinx+C$

$-frac{1}{2}( frac{ pi}{2})^{-2}+sin( frac{ pi }{2})+C =- frac{1}{2 pi^{2} }$

$-frac{2}{pi^{2}}+1+C =- frac{1}{2 pi^{2} }$

$C =frac{2}{pi^{2}}-frac{1}{2 pi^{2} }+1$

$C = frac{3}{2pi^{2}} -1$

Запишем уравнение первообразной функции f(x) проходящей через точку М

$F(x)= -frac{1}{2}x^{-2}+sinx+ frac{3}{2pi^{2}} -1$