Question

Найдите наименьший корень уравнения $sin frac{ pi *x}{4} + cos frac{ pi *x}{4}=U$ принадлежащий отрезку U ≤ x ≤ 8.
 Пожалуйста с объяснением, если можно. Спасибо

Answer 1

Вообще, уравнение проще решить графическим способом, но для анализа функции её хорошо бы продифференцировать.
Поскольку задача указана для средней школы, то решим задачу в лоб, что длиннее.
Для начала нужно выкинуть cos из уравнения, чтобы можно было заменой уйти от тригонометрических функций.
$sin frac{ pi x}{4} + cos frac{ pi x}{4} = sin frac{ pi x}{4} +sqrt{1-sin^{2}frac{ pi x}{4} } =$ /Замена $y=sin frac{ pi x}{4}$ /
=$y+ sqrt{1-y^{2} } =U=>sqrt{1-y^{2} } =1-y^{2} + U -1=>$ /Замена $z=sqrt{1-y^{2} }$/
=> $z=z^{2} +U-1=>$
=>$z^{2}-z +U-1=0 => D=b^{2} -4ac=1+4(U-1)=$
В случае, если $D geq 0,$ то уравнение имеет решение.
=> При $4U-3 geq 0 => U geq frac{3}{4}$;
То есть при$U <frac{3}{4}$, решений нет.
$z_{1,2} = frac{-b +/- sqrt{D} }{2a} =frac{-1 +/- sqrt{4U-3} }{2}$
Поскольку z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число => $z = frac{sqrt{4U-3} -1}{2}=sqrt{1-y^{2}}$


=> $sqrt{4U-3} -1=2sqrt{1-y^{2}}=>(sqrt{4U-3} -1)^2=4(1-y^{2})$
=> $4U-3-2sqrt{4U-3} +1=4-4y^{2} => 4y^{2} = 6-4U +2 sqrt{4U-3}$
=> $y = frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2}$
При этом должно выполняться неравенство $sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}} geq 0$, иначе корней нет. Пометим это выражение (1*)


$y=sin frac{ pi x}{4}=frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2}[$
Решения есть, если $-1leq frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2} leq 1$

=> $frac{ pi x}{4}=(-1)^k arcsin(frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k$, где k принадлежит Z
=> $x=frac{4}{ pi }( (-1)^k arcsin(frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k)$
=> $x=frac{4}{ pi }(-1)^k arcsin(frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2})+frac{4}{ pi } /pi k$
=> $x=frac{4}{ pi }(-1)^k arcsin(frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2})+4 sqrt{/pi} k$
Поскольку мы ищем наименьший корень, то  что числитель должен быть наименьшим при минимальном k либо максимальным при минимальном k, найденные числа необходимо сравнить => Найдём сначала наименьшее значение
Выражение$frac{sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}}{2}$ должно быть наименьшим
=> Выражение$sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}$должно быть наименьшим
=> Выражение$6-4U +2 sqrt{4U-3}$должно быть наименьшим
$6-4U +2 sqrt{4U-3}=$/Замена k=4U-3/$=3-k^2 +2 k= -k^2+2k+3$
Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было $geq 0$
=> Наименьших значений это выражение будет достигать в точках пересечения с 0
=> $D/4=m^2-ac= 1+3=4=2^2 =>k_{1,2} = frac{-m+/-D/4}{a}= frac{1+/-2}{1}$
$k_{1} =-1; k_{2} =3; => 4U_{1}-3=-1 => U_{1}=1/2$
=>$4U_{2}-3=3 => U_{2} = 3/2;$
Поскольку у нас ограничения для $Ugeqfrac{3}{4}$, то минимальное значение будет достигаться при U=3/2;
Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению :
$sqrt{6-4U +2 sqrt{4U-3}}=sqrt{2sqrt{3}} > 0$
=> $x=frac{4}{ pi }(-1)^k arcsin(frac{sqrt{2sqrt{3}}}{2})+4 sqrt{/pi} k$
$x geq frac{3}{2}$ - это следует из условий задачи
=> k=1 => $x=frac{4}{ pi }(-1) arcsin(frac{sqrt{2sqrt{3}}}{2})+4 sqrt{/pi}$ (11)
Вообще, нужно ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем максимальное значение арксинуса при k=0.
Арксинус максимален в вершине параболы описывающей его числетель => U=1 => $x=frac{4}{ pi } arcsin(frac{sqrt{6-4 +2 sqrt{4-3}}}{2})$
=> $x=frac{4}{ pi } arcsin(frac{sqrt{4}}{2})$
=> $x=frac{4}{ pi } arcsin(1) = frac{4 pi}{ 2pi }=2$

Теперь определим, которое из чисел меньше. Вычтем из x (11) 2:
$frac{4}{ pi }(-1) arcsin(frac{sqrt{2sqrt{3}}}{2})+4 sqrt{/pi} -2=$
=$x=frac{4}{ pi }(-1) arcsin(frac{sqrt{2sqrt{3}}}{2})+4 sqrt{/pi} -2$
/Для упрощения оценки допустим, что арксинус достигает своего максимального значения = $frac{ pi }{2}$, /
=$x=frac{4 pi}{ 2pi }(-1) +4 sqrt{/pi} -2=4 sqrt{/pi}-4>0$
Следовательно x=2 - это минимальный корень из всех возможных.
Ответ: x=2

Просто кошмар, это решение стоит намного больше, чем 5 баллов.
Прилагаю график, на котором изображена функция tex]sin frac{ pi x}{4} + cos frac{ pi x}{4}[/tex], а также y=x, которая служит ограничением по условиям задачи