Question

Объясните почему уравнение не имеет корней
$sqrt{x} + sqrt{x+1}=0$

Answer 1

для любого неотрицательного выражения A:
$sqrt{A| geq 0$
(при отрицательном А не имеет смысла)
причем $sqrt{A}=0$<=>$A=0$

сумма двух неотрицательных выражений равняется 0, если каждое из выражений равно 0, значит данное уравнение равносильно системе уравнений
$x=0; x+1=0$
которая очевидно не имеет корней (уравнения имеют разные корни)
а значит и исходное уравнение не имеет корней
-----------------------------------
иначе
в левой части возрастающая функция как сумма двух возрастающих (функция корня и суперпозиция возрастающих функций корня и линейной)
ОДЗ функции задающей левую часть
$x geq 0; x+1 geq 0$
$x geq 0$
а значит
$f(x)=sqrt{x}+sqrt{x+1} geq f(0)=sqrt{0}+sqrt{1+0}=1>0$
а значит данное уравнение не может иметь корней (левая часть заведомо больше правой)
-------------
иначе
$sqrt{x}=-sqrt{x+1}$
подносим обе части к квадрату
$x=x+1$
$0x=1$
решений нет(проверка не нужна так как не нашли корней)
ответ: данное уравнение корней не имеет