Question

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O.Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 и 16 . Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Треугольники AOD и COB подобны. 
Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции.
Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E.
Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD).
Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC; 
То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD;
Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы).
Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон.  
То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что
AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S;
Отсюда  √S = √25 + √16 = 9; S = 81;