Question

Делится ли число A=1010101...01(n едениц) на число B = 111111...1(n едениц?)

Answer 1

n=1 A=1 B=1 все гуд число А делится нацело на число В
пусть дальше в рассуждениях n>1
(воспользуемся дальше в рассуждениях свойствами геометрической прогрессии --формулой суммы
а также формулой разности квадратов выражений)
A=1+100+100 00+1 00 00 00...+1 00 00 00 00(2n-2 нулей)=
$1*frac{100^n-1}{100-1}=frac{100^n-1}{99}=frac{(10^2)^n-1}{99}=\\frac{(10^n)^2-1^2}{99}=frac{(10^n-1)(10^n+1)}{9*11}$
B=1+10+100+1000+...+100000..00 (n-1 нулей)=
$1*frac{10^n-1}{10-1}=frac{10^n-1}{9}$
отсюда видно, что
$A=frac{10^n+1}{11}*B$
а значит число А будет на число В НАЦЕЛО (!!!а так оно себе делится на число В --оно ведь не 0)
если $10^n+1$ делится нацело на 11

Используя признак делимости на число 11: а именно, что число делится на 11 тогда и только тогда когда модуль разности между суммой цифр занимающих нечетные позиции и суммой цифр, занимающих четные позиции  делится нацело на 11


при четном числе n получаем что две единицы на нечетном месте и возможно нули на четных и нечетных позициях(но нули не влияют  при суммировании на итог суммы а+0=а)
поэтому сумма на четных местах равна 2, на нечетных 0, модуль разности равен 2 , нацело на 11 не делится
значит вариант четного числа n нас не устраивает

при нечетном n получаем что одна единица на четном месте и одна на нечетном и возможно нули на четных и нечетных позициях, а значит сумма цифр на четных местах равна 1, на нечетных равна 1, модуль разности равен 0 и делится нацело на 11
значит нечетное число n нам подходит
обьедияняя с тривиальным случаем n=1
получаем ответ: при любом нечетном натуральном n