Question

Периодичность тригонометрических функции.
1) Докажите,что п-период для f(x)=tgx
2)Докажите,что 3п-период для f(x)=tgx/3
3)Докажите,что п-период y=sin2x 

Answer 1

1) Период функции означает, что tgx=tg(x+π)
Чтобы доказать периодичность этой функции, нужно доказать тождество tgx=tg(x+π).
tgx=sin(x+π)/cos(x+π)
tgx=sinxcosπ+sinπcosx/cosxcosπ-sinxsinπ
tgx=sinx*(-1)+0*cosx/cosx*(-1)-sinx*0
tgx=-sinx/-cosx
tgx=tgx  Доказано.

2) Аналогично.
tgx/3=tg(x/3+3π)
tgx/3=sin(x/3+3π)/cos(x/3+3π)
tgx/3=sinx/3cosπ+sinπcosx/3/cosx/3cosπ-sinx/3sinπ
tgx/3=-sinx/3/-cosx/3
tgx/3=tgx/3  Доказано

3) sin2x=sin(2x+π)
sin2x=sin2xcosπ+sinπcos2x
sin2x=-sin2x
Равенство неверно, π не является периодом для y=sin2x.