Question

Доказать, что кубы натуральных чисел при делении на 7 могут давать только остатка 0,1 и 6

Answer 1

Число n при делении на 7 может дать остатки 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6. Для случая трёх множителей, получим, что соотвественные остатки для чисел $n^3$
такие же, как и остатки для чисел $0^3,1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3$, тоесть 0, 1, 1 ,6 ,1, 6 ,6 
 
 Для этой задачи есть полный перебор
$(7k)^3,(7k+1)^3,(7k+2)^3,(7k+3)^3,(7k+4)^3,(7k+5)^3$ и $(7k+6)^3$