Question

 НУ ДОКАЖИТЕ!!!!!    2^n<n!      n≥4  n∈N

Answer 1

Доказательство методом математической индукции
База индукции
при $n=4$
$2^4=16<24=1*2*3*4=4!$
неравенство справедливо

Гипотеза индукции. Пусть при $n=k geq 4$ неравенство справедливо, т.е.
верно $2^k<k!$

Индукционный переход. Докажем, что тогда справедливо неравенство при $n=k+1$
т.е. что справедливо неравенство $2^{k+1}<(k+1)!$
$2^{k+1}=2*2^k<2*k!<(k+1)*k!=(k+1)!$
так как при $k geq 4$: $k+1 geq 4+1=5 >2$

Согласно принципу математической индукции данное утверждение справедливо. Доказано

Answer 2

итого k+1>2

Answer 3

а откуда 2

Answer 4

2^{K+1}=2^k*2^1=2^k*2

Answer 5

иначе говоря итого 2<k+1 рассмотрено дополнительно в комментариях, 2^k<k! по гипотезе, перемножили соответственно неотрицательные левые и правые части неравенств получили 2*2^k<(k+1)*k! или тоже самое что 2^{K+1}<(k+1)!