Question

Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Answer 1

$x^3 + 3x^2 - 6x + a = 0$

Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:

$(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = (x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1*a_2)(x - a_3) =\\ = x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3)x- a_1*a_2*a_3\\ -3 = a_1 + a_2 + a_3\\ -6 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3\\ -a = a_1*a_2*a_3$

Т.к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:

$a_1, a_2 = a_1*q, a_3 = a_2*q = a_1*q^2$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:

$-3 = a_1(1 + q + q^2)\\ -6 = a_1(a_1*q)+ a_1(a_1*q^2) + (a_1*q)(a_1*q^2) = \\ = a_1^2(q + q^2 + q^3) = a_1^2q(1 + q + q^2)\\ frac{-6}{-3} = frac{a_1^2q(1 + q + q^2)}{a_1(1 + q + q^2)}\\ 2 = a_1q = a_2\\ a_1 = frac{2}{q}, frac{2}{q}(1 + q + q^2) = -3\\ 2 + 2q + 2q^2 = -3q\\ 2q^2 + 5q + 2 = 0\\ D = 25 - 16 = 9\\ q_1 = frac{-5 + sqrt{9}}{4} = -frac{2}{4} = -0.5\\ q_2 = frac{-5 - sqrt{9}}{4} = -frac{8}{4} = -2$

Проверим для $q = -0.5$:

$a_2 = 2, a_1 = a_2*(0.5)^{-1} = 2*(-2) = -4 , a_3 = a_2*(-0.5) = -1\\ a_1 + a_2 + a_3 = -4 + 2 - 1 = -3\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -4*2 + (-4)*(-1) + 2*(-1) =\\= -8 + 4 - 2 = -6$

Проверим для $q = -2$:

$a_2 = 2, a_1 = a_2*(-2)^{-1} = 2*(-2) = -1 , a_3 = a_2*(-2) = -4\\ a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 2 - 4 = -3\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -1*2 + (-1)*(-4) + 2*(-4) = \\ = -2 + 4 - 8 = -6$

$mathbb{OTBET:} a_1 = -1, a_2 = 2, a_3 = -4, a = -8.$
Само уравнение принимает вид $x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0$.

Answer 2

Спасибо большое. Вроде пока все понятно!