Question

Точки M и N -
середины соседних сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM
и AN делят диагональ BD на три равные части.

Answer 1

пусть P = точка пересечения AM и BD; Q точка пересечения AN и BD

заметим что APD подобен MPB. и из подобия AP = 2PM; (соответственно AP =  $frac{2*AM}{3}$)
аналогично из подобия ABQ и NQD, AQ = 2QN. AQ = $frac{2*AN}{3}$

Вектор AP = $frac{2AM}{3} = frac{2}{3} * ( frac{AB+AC}{2} ) = frac{AB+AB+BC}{3} = frac{2*AB+AC}{3}$

Вектор AQ = $frac{2*AN}{3} = frac{2}{3} * frac{AC+AD}{2} = frac{AB+BC+BC}{3} = frac{AB+2BC}{3}$
(воспользовались тем, что вектор AD = вектору BC)

теперь вычислим вектора BP, PQ, QD увидим что одинаковы

BP = AP-AB = $frac{2AB+BC}{3} - AB = frac{BC-AB}{3}$
PQ = AQ-AP =$frac{AB+2BC}{3} - frac{2AB+BC}{3} = frac{BC-AB}{3}$
QD = AD-AQ = BC-AQ = $BC - frac{(AB+2BC)}{3} = frac{BC-AB}{3}$