Question

почему слово пишется летнЕго ?

Answer 1

Летнего, какого? Не скажем ведь мы летнИго

Answer 2

Задаем к данному слову вопрос.
Допустим есть словосочетание "летнего дождя". Главное слово "дождь" (существительное). От него задаем вопрос в зависимому слову "летнего" . Дождя какого? "летнего". Если заданный вопрос заканчивается на "-ого" или "-его", то и зависимое слово имеет окончание "-ого" или "-его".