Question

СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА 65 БАЛОВ ПОМОГИТЕ!!!
 К двум окружностям с центрами в точках О1 и О2, касающимся внешним образом в точке А, проведена общая касательная ВС (В и С – точки касания). Докажите, что угол ВАС – прямой.  

Answer 1

AD -- перпендикуляр к BC.
O₁F -- перпендикуляр к O₂C.
O₁O₂ = r + R, O₂F = R - r
O₁F = $sqrt{(r+R)^{2}-(R-r)^{2}}=2 sqrt{rR}$
ВС = O₁F =2$sqrt{rR}$
BD = BC·$frac{r}{r+R} = frac{2r sqrt{rR} }{r+R}$
DC = BC·$frac{R}{r+R} = frac{2R sqrt{rR} }{r+R}$
ΔO₁AE подобен ΔO₁O₂F, поэтому $frac{AE}{O_{2}F}= frac{O_{1}A}{O_{1}O_{2}}$
$AE= frac{O_{1}A*O_{2}F}{O_{1}O_{2}}=frac{r*(R-r)}{r+R}}$
AD = AE + ED = $frac{r*(R-r)}{r+R}} + r =frac{2rR}{r+R}}$
Если <BAC -- прямой, тогда длина высоты AD должна быть равна среднему геометрическому длин отрезков BD и DC, на которые она разбивает гипотенузу BC.
Убедимся, что: AD = $sqrt{BD*DC}$
$frac{2rR}{r+R}}=sqrt{ frac{2r sqrt{rR} }{r+R}*frac{2R sqrt{rR} }{r+R}}$
$frac{2rR}{r+R}}=frac{2rR}{r+R}}$
<BAC -- действительно прямой.
См. рис. в прилагаемом файле.