Question

9 класс опять же, третье задание, и если можно, условие задачи тоже помогите обьяснить)

Answer 1

$Ax^my^m$, где $A$ - константа, $A in mathbb{R}$, $n, m in mathbb{Z}$.

$left( frac{1}{6}x^{-1}y^3right)^{-2} cdot left(frac{x^2}{y^2} right)^{-2} cdot left( -frac{2x^2}{y^2}right)^{-4} = left( frac{y^3}{6x}right)^{-2} cdot left(frac{x^2}{y^2} right)^{-2} cdot left( -frac{2x^2}{y^2}right)^{-4} = \\ = left( frac{6x}{y^3}right)^{2} cdot left(frac{y^2}{x^2} right)^{2} cdot left( -frac{y^2}{2x^2}right)^{4} = left( frac{6x}{y^3}cdot frac{y^2}{x^2} right)^{2} cdot left( -frac{y^2}{2x^2}right)^{4} =$

$= left( frac{6xy^2}{y^3x^2}right)^{2} cdot left( -frac{y^2}{2x^2}right)^{4} = left( frac{6}{y^{3-2}x^{2-1}}right)^{2} cdot left( -frac{y^2}{2x^2}right)^{4} = left( frac{6}{yx}right)^{2} cdot left( -frac{y^2}{2x^2}right)^{4} =\\= frac{36}{y^2x^2} cdot frac{y^8}{16x^8} = frac{36y^8}{16y^2x^2x^8} = frac{9y^{8 - 2}}{4x^{2+8}} = frac{9y^6}{4x^{10}} = boxed{frac{9}{4}x^{-10}y^6}$

Некоторые правила обращения со степенями:

$1) a^n cdot b^n = (a cdot b)^n\\ 2) a^n cdot a^m = a^{n + m}\\ 3) a^{-n} = frac{1}{a^n}\\ 4) frac{a^{m}}{b^{m}} = (frac{a}{b})^m \\ 5) (a^n)^m = a^{n*m}$

Соответственно:

$6) a^n cdot a^{-m} = frac{a^n}{a^m} = a^{n - m} = frac{1}{a^{m - n}} \\ 7) frac{a^{m}}{b^{m}} = (frac{a}{b})^m\\ 8) (frac{a^{m}}{b^{n}})^{-t} = (frac{b^{n}}{a^{m}})^t\\ 9) (-a)^{2t} = a^{2t}$

На первом шаге решения применяем правило 3). На втором: 8). На третьем: 1). На пятом: 6). На седьмом: 7) и 9). На девятом: 2) и 6). На одиннадцатом: 3).

По условию: требуется привести выражение к определённому виду, который и представлен в виде формулы, фигурирующей в условии. $A$ в ней, некий вещественный коэффициент (рациональная дробь, или иррациональное число), $n$ и $m$ – степени, соответственно, $x$ и $y$ (степени, согласно условию, целые числа). Приводим к необходимому по условию виду с помощью различных правил обращения со степенями. Часть из них приведена выше.