За
время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в
размере 5%, затем 12%, потом 11 1/9% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под
действием новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по
истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 1/6%. Определите срок
хранения вклада. (Никольский. 10 класс.)
Ответы
Ответ дал:
0
Обозначим сумму вклада через х, тогда по истечении срока вклада на счету стало [сумма вклада] + [проценты] = 100% от х + 104 1/6% от х = 204 1/6% от х. Избавимся от процентов:
![frac{204frac{1}{6}}{100}x=frac{1225}{600}x frac{204frac{1}{6}}{100}x=frac{1225}{600}x](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7B204frac%7B1%7D%7B6%7D%7D%7B100%7Dx%3Dfrac%7B1225%7D%7B600%7Dx)
Пусть вклад находился под ставкой 5% k месяцев, тогда по истечении этих месяцев сумма вклада стала равна
.
Продолжая подобные рассуждения, получаем итоговую сумму вклада:
![(frac{105}{100})^k*(frac{112}{100})^l*(frac{111 frac{1}{9}}{100})^m*(frac{112,5}{100})^n=frac{1225}{600}\(frac{21}{20})^k*(frac{28}{25})^l*(frac{10}{9})^m*(frac{9}{8})^n=frac{49}{24}\frac{7^k*3^k*7^l*2^{2l}*2^m*5^m*3^{2n}}{2^{2k}*5^k*5^{2l}*3^{2m}*2^{3n}}=frac{7^2}{3*2^3}\7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0} (frac{105}{100})^k*(frac{112}{100})^l*(frac{111 frac{1}{9}}{100})^m*(frac{112,5}{100})^n=frac{1225}{600}\(frac{21}{20})^k*(frac{28}{25})^l*(frac{10}{9})^m*(frac{9}{8})^n=frac{49}{24}\frac{7^k*3^k*7^l*2^{2l}*2^m*5^m*3^{2n}}{2^{2k}*5^k*5^{2l}*3^{2m}*2^{3n}}=frac{7^2}{3*2^3}\7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0}](https://tex.z-dn.net/?f=%28frac%7B105%7D%7B100%7D%29%5Ek%2A%28frac%7B112%7D%7B100%7D%29%5El%2A%28frac%7B111+frac%7B1%7D%7B9%7D%7D%7B100%7D%29%5Em%2A%28frac%7B112%2C5%7D%7B100%7D%29%5En%3Dfrac%7B1225%7D%7B600%7D%5C%28frac%7B21%7D%7B20%7D%29%5Ek%2A%28frac%7B28%7D%7B25%7D%29%5El%2A%28frac%7B10%7D%7B9%7D%29%5Em%2A%28frac%7B9%7D%7B8%7D%29%5En%3Dfrac%7B49%7D%7B24%7D%5Cfrac%7B7%5Ek%2A3%5Ek%2A7%5El%2A2%5E%7B2l%7D%2A2%5Em%2A5%5Em%2A3%5E%7B2n%7D%7D%7B2%5E%7B2k%7D%2A5%5Ek%2A5%5E%7B2l%7D%2A3%5E%7B2m%7D%2A2%5E%7B3n%7D%7D%3Dfrac%7B7%5E2%7D%7B3%2A2%5E3%7D%5C7%5E%7Bk%2Bl%7D%2A3%5E%7Bk%2B2n-2m%7D%2A2%5E%7B2l%2Bm-2k-3n%7D%2A5%5E%7Bm-k-2l%7D%3D7%5E%7B2%7D%2A3%5E%7B-1%7D%2A2%5E%7B-3%7D%2A5%5E%7B0%7D)
Продолжаем:
![7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0}\k+l=2;k+2n-2m=-1;2l+m-2k-3n=-3;m-k-2l=0 7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0}\k+l=2;k+2n-2m=-1;2l+m-2k-3n=-3;m-k-2l=0](https://tex.z-dn.net/?f=7%5E%7Bk%2Bl%7D%2A3%5E%7Bk%2B2n-2m%7D%2A2%5E%7B2l%2Bm-2k-3n%7D%2A5%5E%7Bm-k-2l%7D%3D7%5E%7B2%7D%2A3%5E%7B-1%7D%2A2%5E%7B-3%7D%2A5%5E%7B0%7D%5Ck%2Bl%3D2%3Bk%2B2n-2m%3D-1%3B2l%2Bm-2k-3n%3D-3%3Bm-k-2l%3D0)
Из первого k=1, l=1 (так как все степени - натуральные положительные числа), дальше получаем m=3, n=2.
Срок хранения вклада: 1 + 1 + 3 + 2 = 7 месяцев.
Пусть вклад находился под ставкой 5% k месяцев, тогда по истечении этих месяцев сумма вклада стала равна
Продолжая подобные рассуждения, получаем итоговую сумму вклада:
Продолжаем:
Из первого k=1, l=1 (так как все степени - натуральные положительные числа), дальше получаем m=3, n=2.
Срок хранения вклада: 1 + 1 + 3 + 2 = 7 месяцев.
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад