Question

                                          За
время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в
размере 5%, затем 12%, потом 11 1/9% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под
действием новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по
истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 1/6%.  Определите срок
хранения вклада. (Никольский. 10 класс.)

Answer 1

Обозначим сумму вклада через х, тогда по истечении срока вклада на счету стало [сумма вклада] + [проценты] = 100% от х + 104 1/6% от х = 204 1/6% от х. Избавимся от процентов:
$frac{204frac{1}{6}}{100}x=frac{1225}{600}x$

Пусть вклад находился под ставкой 5% k месяцев, тогда по истечении этих месяцев сумма вклада стала равна $(frac{105}{100})^k$.

Продолжая подобные рассуждения, получаем итоговую сумму вклада:
$(frac{105}{100})^k*(frac{112}{100})^l*(frac{111 frac{1}{9}}{100})^m*(frac{112,5}{100})^n=frac{1225}{600}\(frac{21}{20})^k*(frac{28}{25})^l*(frac{10}{9})^m*(frac{9}{8})^n=frac{49}{24}\frac{7^k*3^k*7^l*2^{2l}*2^m*5^m*3^{2n}}{2^{2k}*5^k*5^{2l}*3^{2m}*2^{3n}}=frac{7^2}{3*2^3}\7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0}$

Продолжаем:
$7^{k+l}*3^{k+2n-2m}*2^{2l+m-2k-3n}*5^{m-k-2l}=7^{2}*3^{-1}*2^{-3}*5^{0}\k+l=2;k+2n-2m=-1;2l+m-2k-3n=-3;m-k-2l=0$

Из первого k=1, l=1 (так как все степени - натуральные положительные числа), дальше получаем m=3, n=2.

Срок хранения вклада: 1 + 1 + 3 + 2 = 7 месяцев.