Question

Исследовать на условную и абсолютную сходимость

Answer 1

Знакочередующийся ряд.
Только при n=1 ln1=0, а на ноль делить нельзя.
При п=1 до +∞ ряд не существует.
Значит, n≥2
Исследуем на сходимость по признаку Лейбница
$1) |a_{n}| rightarrow0 \ 2) |a _{n}|>|a _{n+1}|$
Проверяем выполнение этих условий у данного ряда$1) lim_{n to infty} frac{1}{nlnn} =0 \ 2) frac{1}{nlnn}> frac{1}{(n+1)ln(n+1)}$
верно, так как
(n+1)>n
ln(n+1)>lnn, для n>1

Перемножаем
(n+1)ln(n+1)>n·ln(n), n∈N
Знакопеременный ряд сходится по признаку Лейбница
К исследованию знакоположительного ряда $sum_{i=2}^n frac{1}{nlnn}$
применяем интегральный признак
$intlimits^{+infty}_2 { frac{1}{xlnx} } , dx =ln(lnx)|_{2} ^{+infty} =+infty$
Несобственный интеграл расходится, значит и ряд расходится.
Ответ. Ряд сходится условно