Question

p(n) = 1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)
                                                               4

Answer 1

Формула, которая доказывается методом математической индукции.
Метод состоит в применении аксиомы, которая утверждает, что
1)если утверждение верно для п=1
2) из предположения, что оно верно для n=k  с помощью преобразований получается, что оно верно и для следующего значения n=k+1, то
аксиома утверждает, что такое утверждение верно для любого натурального n
===========
Проверяем
1) Р(1) = 1·2·3 - слева Справа 1(1+1)(1+2)(1+3)/4
1·2·3= 1(1+1)(1+2)(1+3)/4 - верно  6 = 24/4
2) Предположим, что Р(k) = k(k+1)(k+2)(k+3)/4  - верно, т.е верно равенство

1·2·3·4 + 2·3·4·5 + 3·4·5·6+... + k(k+1)(k+2)  = k(k+1)(k+2)(k+3)/4      (*)
Докажем, что верно равенство:
1·2·3·4 + 2·3·4·5 + 3·4·5·6+... + k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+2)(k+3)  = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/4      (**)
Заменим в последнем равенстве подчеркнутое слева выражение  на правую часть равенства (*)
k(k+1)(k+2)(k+3)/4 + (k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)(k+3) ( k+4)/4
Вынесем в левой части за скобки  (k+1)(k+2)(k+3)
(k+1)(k+2)(k+3) ( k/4  + 1) = (k+1)(k+2)(k+3) ( k+4)/4
Доказано.
На основании принципа математической индукции равенство верно для любого натурального n