Question

(3-а)х^2+2(а+1)x+2a=0 При каких значениях параметра а уравнение имеет корни одинаковых знаков?

Answer 1

1) a=3 тогда коэффициент при x^2 равен нулю и мы получаем просто линейное уравнение, у которого только 1 корень

2) a≠3
поделим все уравнение на (3-а)
$x^2+ dfrac{2(a+1)}{3-a}cdot x+ dfrac{2a}{3-a} =0$
квадратное уравнение имеет корни один. знаков , тогда произведение этих корней должно быть положительно, а значит и по теореме виета свободный член должен быть положительным , т.е.
 $dfrac{2a}{3-a}>0\\dfrac{2a}{a-3}<0\\ain(0;3)$

Дополним еще условием существования 2-х корней
D>0
$D=4(a+1)^2-8a(3-a)=4a^2+8a+4-24a+8a^2=\=12a^2-16a+4\\D>0\12a^2-16a+4>0\3a^2-4a+1>0\a_1= frac{4+2}{6} =1;quad a_2=frac{4-2}{6} = frac{1}{3} \\3(a-1)(a- frac{1}{3}) >0$
$3(a-1)(a- frac{1}{3}) >0\xin(-infty; frac{1}{3} )cup(1;+infty)$

Пересекаем полученные решения, получаем
$ain(0; frac{1}{3} )cup (1;3)$