Question

Вычислить производные:
$ln frac{x+1}{ sqrt{ x^{2} -x+1} }$
$ln sin^{2} frac{x}{3}$

Answer 1

$y=lnfrac{x+1}{sqrt{x^2-x+1}}\\y'=frac{sqrt{x^2-x+1}}{x+1}cdot frac{sqrt{x^2-x+1}-(x+1)cdot frac{2x-1}{2sqrt{x^2-x+1}}}{x^2-x+1}=frac{2(x^2-x+1)-(x+1)(2x-1)}{(x+1)sqrt{x^2-x+1}cdot 2sqrt{x^2-x+1}}=\\=frac{-3(x-1)}{2(x+1)(x^2-x+1)}\\\y=lnsin^2frac{x}{3}\\y'=frac{1}{sin^2frac{x}{3}}cdot 2sinfrac{x}{3}cdot cosfrac{x}{3}cdot frac{1}{3}=frac{2cosfrac{x}{3}}{3sinfrac{x}{3}}==frac{2}{3}ctgfrac{x}{3}$