Question

при каких значениях параметра p неравенство px^2+(2p+1)x-(2-p)<0 верно при всех значениях x?

Answer 1

Квадратное неравенство верно при всех х  в том случае, если парабола (заданная квадратным трехчленом слева)  расположена ниже оси ох.
Значит коэффициент при х² отрицательный, ветви параболы направлены вниз
При этом парабола не пересекает ось ох, значит квадратное уравнение не имеет корней.
А в этом случае дискриминант квадратного трехчлена отрицательный.
Оба условия объединяем в систему
$left { {{p<0} atop {(2p+1) ^{2}+4p(2-p)<0}} right.$
Решаем второе неравенство
4p²+4p+1+8p-4p²<0,
12p+1<0
p<-1/12
Решением системы
$left { {{p<0} atop {p<-1/12}} right.$
является
(-∞;-1/12)