Question

сколько существует натуральных чисел n, для которых 4^n-15 является квадратом целого числа?

Answer 1

$4^n-15=x^2\2^{2n}-x^2=15\(2^n-x)(2^n+x)=15$
В левой части 2 натуральных множителя, произведение которых равно 15. Это могут быть множители 3 и 5 или 1 и 15.
$begin{cases}2^n-x=3\2^n+x=5end{cases}Rightarrowbegin{cases}x=2^n-3\2^n+2^n-3=5end{cases}Rightarrowbegin{cases}x=2^n-3\2^n=4end{cases}Rightarrowbegin{cases}x=1\n=2end{cases}$
и
$begin{cases}2^n-x=1\2^n+x=15end{cases}Rightarrowbegin{cases}x=2^n-1\2^n+2^n-1=15end{cases}Rightarrowbegin{cases}x=2^n-1\2^n=8end{cases}Rightarrow\Rightarrowbegin{cases}x=7\n=3end{cases}$

Всего два натуральных n: 2 и 3