Question

1. Дана функция $y=(8x+1) ^{ frac{5}{4} } -30x$.
а). Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы.
б). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;10].
2. Составьте уравнение касательной к графику функции $y= 3x^{ frac{1}{3} } -5$, если тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен 0,25.

Answer 1

1a.
$y=(8x+1) ^{ frac{5}{4} } -30x, \ 8x+1 geq 0, x geq - frac{1}{8}, D_y=[- frac{1}{8};+infty);\ y'=((8x+1) ^{ frac{5}{4} } -30x)'=10(8x+1) ^{ frac{1}{4} } -30, \ y'=0, frac{5}{4}(8x+1) ^{ frac{1}{4} } -30=0, \ (8x+1) ^{ frac{1}{4} }=3, \ 8x+1=3^4, \ x=10; y'gtrless0, \ x<10, xin[- frac{1}{8};10), y'<0, ysearrow; \ x>10, xin(10;+infty), y'>0, ynearrow; \ x_{min}=10, y_{min}=-57;$
1б.
$xin[0;10], \ y'=10(8x+1) ^{ frac{1}{4} } -30, \ y'=0, x=10;\ x=0, y=(8cdot0+1) ^{ frac{5}{4} } -30cdot0=1; \ x=10, y=(8cdot10+1) ^{ frac{5}{4} } -30cdot10=-57; \ min limits_{xin[0;10]} y =-57, max limits_{xin[0;10]} y =1.$

2.
$y= 3x^{ frac{1}{3} } -5, tg alpha=0,25;\ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),\ y'=(3x^{ frac{1}{3} } -5)'= frac{1}{x^ frac{2}{3} }, \ x=x_0, tg alpha=k=y_{x_0}', frac{1}{x_0^ frac{2}{3} }=0,25, \ frac{1}{x_0^ frac{2}{3} }= frac{1}{4} ,\ frac{1}{x_0^ frac{1}{3} }= frac{1}{2} ,\ x_0^ frac{1}{3} =2, \ x_0=2^3, \ x_0=8, \ y_{x_0}=3cdot8^{ frac{1}{3} } -5=1, \ y=1+0,25(x-8);\ y=0,25x-1.$