Question

4cos^3x+3корень из 2 sin2x=8cosx

Answer 1

$4cos^3x+3sqrt{2}sin 2x=8cos x\ \ 4cos^3x+6sqrt{2}sin xcos x-8cos x=0\ \ 2cos x(2cos^2x+3sqrt{2}sin x-4)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль.
  $cos x=0~~~~~~Rightarrow~~~~~~~boxed{x_1= frac{pi}{2}+pi n,n in mathbb{Z} }$

$2cos^2x+3sqrt{2}sin x-4=0\ \ 2(1-sin^2x)+3sqrt{2}sin x-4=0\ \ 2-2sin^2x+3sqrt{2}sin x-4=0\ \ 2sin^2x-3sqrt{2}sin x+2=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно sin x

 $D=b^2-4ac=(-3sqrt{2})^2-4cdot 2cdot 2=18-16=2$

$sin x= dfrac{3sqrt{2}+sqrt{2}}{2cdot 2} =sqrt{2}$
Это уравнение решений не имеет так как синус принимает свои значения [-1;1],

$sin x= dfrac{3sqrt{2}-sqrt{2}}{2cdot 2} = dfrac{1}{sqrt{2}} ~~~Rightarrow~~~~~~boxed{x_2=(-1)^kcdot frac{pi}{4}+pi k,k in mathbb{Z} }$