Question

Дана функция у=-(3х-1)^5/3+20х 1). исследуйте функцию на монотонность и экстремумы; 2). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале (1;3].

Answer 1

$y=frac{-(3x-1)^5}{3+20x}$

1. Область определения функции: $x in (-infty;-0.15)cup (-0.15;+infty)$

2. Первая производная

$y'=- dfrac{15(3x-1)^4(3+20x)-(3x-1)^5cdot20}{(3+20x)^2}=\=- dfrac{(3x-1)^4(45+300x-60x+20)}{(3+20x)^2}=- dfrac{(3x-1)^4(240x+65)}{(3+20x)^2}$

3. Точка пересечения с осью Ох

$-(3x-1)^5=0 \ x= frac{1}{3}$

(1/3;0) - - точка пересечения с осью Ох

4. Точки пересечения с осью Оу.

$x=0 \ y(0)= frac{-(3cdot0-1)^5}{3+20cdot0} = frac{1}{3}$

(0;1/3) - точкa пересечения с осью Оу

5. Критические точки

$y'=0 \ (240x+65)(3x-1)^4=0 \ x_1=- frac{13}{48} \ x_2= frac{1}{3}$

Функция возрастает на промежутке $x in(-infty;- frac{13}{48} )$, а убывает - $xin(- frac{13}{48} ;-0.15),~ xin (-0.15; frac{1}{3} ]$ и $x in [frac{1}{3} ;+infty)$

В т. х = -13/48 - функция имеет локальный максимум,

Теперь дан нам отрезок.

$y(3)=- frac{(3cdot3-1)^5}{3+20cdot3} =- frac{32768}{63}=-520$

$displaystyle max_{(1;3]},,y(x)= lim_{x to1^+} y(x)=- frac{32}{23}$

$min_{(1;3]},,y(x)=y(3)=-520$