Question

Сторона трикутника утворюе арифметичну прогрессiю.Радiус вписаного кола дорiвнюе 3см. Знайдiть средню за довжиною висоту трикутника

Answer 1

Сторона треугольника образует арифметическую прогрессию. Радиус вписанной окружности равен 3см. Найдите среднюю по длине высоту треугольника. 
 Стороны треугольника не могут относиться как 1:2:3 - никакая сторона треугольника не может быть равна сумме двух других сторон.

Следующее отношение, составляющее арифметическую прогрессию, это отношение 3:4:5, и это отношение сторон прямоугольного ( египетского ) треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находят по формуле
 r=(а+b-c):2,  где a и b - катеты,   c - гипотенуза.
Пусть коэффициент отношения сторон х.
Тогда 
 (3х+4х-5х):2=3 (см)
2х=6 
х=3
Катеты треугольника равны  3*3=9 см и 3*4=12 см Гипотенуза 3*5=15 см Пусть это треугольник АВС с прямым углом С и высотой СН, которая делит АВ на отрезки АН и ВН
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Найдем эти отрезки.

1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
ВС²=АВ*ВН 
81=15 ВН
ВН=81:15=5,4 
2) Тогда  АН=15-5,4=9,6
СН=√(АН*ВН)=√(9,6·5,4)=7,2 см
Высота этого треугольника из прямого угла к гипотенузе равна 7,2 см. И это средняя по длине  высота этого треугольника, т.к. две другие высоты - катеты. 

Answer 2

Кстати, известно, что если стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию,то ее разность равна радиусу вписанной окружности,