Question

Объясните пожалуйста, как решать: в каких точках касательная к графику функции f(x) = х³ /3 - 5х²/2 + 7х - 4 образует с осью Ох угол 45 градусов?

Answer 1

$f(x)= frac{x^{3}}{3}-frac{5x^{2}}{2}+7x-4$
$tg alpha =f'(a)$ - тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания a
$tg45=1=f'(a)$ - тангенс 45 градусов равен 1, значит производная в точке касания а тоже должна быть равной 1.
$f'(x)= (frac{x^{3}}{3}-frac{5x^{2}}{2}+7x-4)'=frac{1}{3}*3x^{2}-frac{5}{2}*2x+7=x^{2}-5x+7$
$f'(a)=a^{2}-5a+7=1$
$a^{2}-5a+7-1=0$
$a^{2}-5a+6=0, D=25-24=1>0$
$a_{1}=2$  - ответ
$a_{2}=3$  - ответ