Question

На окружности расположены 10 белых точек и одна красная. рассмотрим всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше и на сколько: тех,  у которых есть красная вершина или тех, у которых её нет?

Answer 1

Число многоугольников, у которых нет красной вершины (все вершины белые):
$C_{10}^{3} + C_{10}^{4} + C_{10}^{5} + C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}$
Число многоугольников, у которых есть красная вершина:
$C_{1}^{1}C_{10}^{2} +C_{1}^{1}C_{10}^{3} + C_{1}^{1}C_{10}^{4} + C_{1}^{1}C_{10}^{5} +C_{1}^{1} C_{10}^{6} + C_{1}^{1}C_{10}^{7} + \ + C_{1}^{1}C_{10}^{8} + C_{1}^{1}C_{10}^{9} + C_{1}^{1}C_{10}^{10} = \ =C_{1}^{1}(C_{10}^{2} +C_{10}^{3} + C_{10}^{4} + C_{10}^{5} + C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}) = \ = C_{10}^{2} +C_{10}^{3} + C_{10}^{4} + C_{10}^{5} + C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}$

$C_{10}^{2} +C_{10}^{3} + C_{10}^{4} + C_{10}^{5} + C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} - \ -(C_{10}^{3} + C_{10}^{4} + C_{10}^{5} + C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}) = \ = C_{10}^{2} +C_{10}^{3} + C_{10}^{4} + C_{10}^{5} + C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} - \ -C_{10}^{3} - C_{10}^{4} - C_{10}^{5} - C_{10}^{6} - C_{10}^{7} - C_{10}^{8} - C_{10}^{9} - C_{10}^{10} = C_{10}^{2} =$
$frac{10!}{2!(10-2)!} = frac{10!}{2!8!} = frac{9cdot10}{2} = 45.$

Answer 2

а каких многоугольников больше?

Answer 3

а всё, поняла