Question

Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и угол CAB=углу CDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.

Answer 1

Пусть AE высота треугольника ACD. Заметим, что в прямоугольных треугольниках OHA  и EHD острые углы OHA и EHD равны как вертикальные.  А значит, равны и вторые острые углы этих треугольников:

EDH=ОAH. Из этого равенства и равенства углов CAB=CDB получаем, что BAO=HAO. А значит, AO – биссектриса треугольника ABH, но она же и высота этого треугольника (диагонали перпендикулярны). И поэтому треугольник ABH  равнобедренный. AO - его медиана. BO=OH, ВO=HD (по условию) и значит OH=HD и H – середина отрезка DO.