Question

Помогите, пожалуйста, найти наименьшее и наибольшее значение функции  в данной замкнутой области z=x^2+xy-6x-2y+2  в прямоугольнике 1≤х≤3, 1≤у≤4.

Answer 1

$\z=x^2+xy-6x-2y+2 \ z'_x=2x+y-6\ z'_y=x-2\\ 2x+y-6=0\ x-2=0\\ 2x+y-6=0\ x=2\\ 2cdot2+y-6=0\ 4+y-6=0\ y=2\\ (2,2)$

 

$z'_x=2x+y-6\ x'_y=x-2\ \z''_{xx}=2\ z''_{xy}=1\ z''_{yy}=0\\ detleft|begin{array}{ccc}2&1\1&0end{array}right|=2cdot0-1^2=-1$

 

det<0 ⇒ в точке (2,2) нет экстремумов

 

проверим значение функции в точках: (1,1),(1,4),(3,1),(3,4)

 

$\z(1,1)=1^2+1cdot1-6cdot1-2cdot1+2=1+1-6-2+2=-4\ z(1,4)=1^2+1cdot4-6cdot1-2cdot4+2=1+4-6-8+2=-7\ z(3,1)=3^2+3cdot1-6cdot3-2cdot1+2=9+3-18-2+2=-6\ z(3,4)=3^2+3cdot4-6cdot3-2cdot4+2=9+12-18-8+2=-3\\ z_{min}=-7\ z_{max}=-3$