Question

В трапеции ABCD c основаниями BC = 3a и AD = 7a: AN = NB и CM = MD. Найдите величину |AN + BC + MD|.

Answer 1

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, по правилу треугольника

$overrightarrow{BC}=-overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}\ overrightarrow{CD}=-overrightarrow{AC}+overrightarrow{AD}$

Далее сложим эти два равенства

$overrightarrow{BC}+overrightarrow{CD}=-overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}$

Поскольку N - середина АВ и M - середина CD, то

$overrightarrow{BC}+2overrightarrow{MD}=-2overrightarrow{AN}+overrightarrow{AD}\ \ 3overrightarrow{a}+2overrightarrow{MD}=-2overrightarrow{AN}+7overrightarrow{a}\ \ overrightarrow{AN}+overrightarrow{MD}=2overrightarrow{a}$

Следовательно, $left|overrightarrow{AN}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{MD}right|=left|2overrightarrow{a}+3overrightarrow{a}right|=5left|overrightarrow{a}right|$

Можно еще такой способ. По правилу многоугольника эта сумма равна средней линии , то есть 5а, для наглядности покажу, так как MN средняя линия, то

$overrightarrow{MN}=overrightarrow{NB}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CM}=overrightarrow{AN}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{MD}\ \ |overrightarrow{AN}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{MD}|=bigg|dfrac{3overrightarrow{a}+7overrightarrow{a}}{2}bigg|=5|overrightarrow{a}|$