Question

x+yz=y+zx=z+xy=6 найти все тройки действительных чисел

Answer 1

Запишем в виде системы
{x+yz=6
{y+zx=6
{z+xy=6 
Из уравнения 1 выразим переменную х
{x-=-yz+6
{y+z(-yz+6)=6
{z+(-yz+6)y=6
Имеем теперь пока 2 системы
{-yz²+y+6z-6=0
{-y²z+6y+z-6=0

{(z-1)(-yz-y+6)=0 ⇒ z=1, также -yz-z+6=0
{-y²z+6y+z-6=0
Первый случай
{z=1
{-y²+6y-5=0
Решаем квадратное уравнение
y²-6y+5=0
По т. Виета
y1=1
y2=5
Имеем такие пары решений системы : (5;1;1) и (1;5;1)
Если 
{-yz-y+6=0
{-y²z+6y+z-6=0

{-yz-y+6=0
{y=1
{-yz-z+6=0

{y=1
{z=5
{x=-yz+6=-1*5+6=1

Пара решений системы: (1;1;5)
Если
{-yz-y+6=0
{-yz-z+6=0

Выразим переменную у из уравнения 2
{y=6/(z+1)
ПОдставим и получаем упрощенное уравнение z²+z-6=0
По т. Виета
z1=-3
z2=2
Пары решения системы: (-3;-3;-3) и (2;2;2)

ОТвет: (5;1;1), (1;5;1), (1;1;5), (-3;-3;-3), (2;2;2).