Question

Квадратное уравнение x^2+px+q=0 имеет два различных корня x1 и x2.
Найдите p и q,если числа x1+1 и x2+1 являются корнями уравнения x^2-p^2x+pq=0

Answer 1

равнение x^2+px+q=0:

Так как х1 и х2 - его корни, то по Теореме Виета: х1+х2=-р и х1х2=q

Уравнение x^2-p^2x+pq=0:

Так как (х1+1) и (х2+1) - его корни, то по Теореме Виета: х1+1+x2+1=p^2 и (x1+1)(x2+1)=pq

Имеем систему с четырьмя уравнениями и четырьями неизвестными:

{x1+x2=-p
{x1x2=q
{x1+x2+2=p^2 => x1+x2=p^2-2
{(x1+1)(x2+1)=pq
(x1+1)(x2+1)=pq
x1x2+x1+x2+1=pq
x1x2+(x1+x2)=pq-1

Подставляем значения x1x2=q и (x1+x2)=-p

{-p=p^2-2 (1)
{q-p=pq-1 (2)

(1) -p=p^2-2
p^2+p-2=0
[p=1
[p=-2

(2) p=1 : q-1=q-1 => q - любое действительное число
p=-2 : q+2=-2q-1; 3q=-3; q=-1

Ответ: p=1 и q=любое действительное число; p=-2 и q=-1