Question

В сосуде содержится две не смешивающиеся между собой жидкости, где вертикально расположен цилиндрический брусок длиной l. Плотность нижней жидкости равна p1 , а верхней жидкости p2. На разделе границ этих двух жидкостей брусок поделен пополам. Цилиндрический брусок совершает малые вертикальные колебания. Пренебрегая силами трения, найти период этих колебаний. Ускорение свободного падения g.

Answer 1

Условие равновесия тела, погруженного на половину высоты на границе сред можно записать следующим образом:
mg = ρ₂lSg/2 + ρ₁lSg/2    ρ₂ > ρ₁
m - масса плавающего тела
l - высота тела
S - площадь основания тела
ρ₁ - плотность верхнего слоя жидкости
ρ₂ - плотность нижнего слоя жидкости
Из этого условия можно получить выражение для массы тела
m = (lS/2)(ρ₁ + ρ₂).
Возвращающая сила связана с величиной смещения тела относительно границы раздела сред x следующим образом.
F = mg -  ρ₂(l/2 - x)Sg - ρ₁(l/2+x)Sg
Вставив значения для m, раскрывая скобки, приводя подобные члены, пр-пр-пр... получаем в итоге:
F = -xS(ρ₂ - ρ₁)g = -kx где k = S(ρ₂ - ρ₁)g
Циклическая частота колебаний материальной точки массы m c возвращающей силой, связанной со смещением по закону
F = -kx
равна
ω = √(k/m).
Подставив сюда значения, полученные для m и k, получим:
ω = √(2g(ρ₂ - ρ₁)/(l(ρ₂ + ρ₁)))
Период свободных колебаний, соответственно T = 2π/ω
T = 2π√(l(ρ₂ + ρ₁))/(2g(ρ₂ - ρ₁)))