Question

1)основанием прямой призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник. Диагональ большей боковой грани равна 9 и составляет с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите объем призмы
2)Основание прямого параллелепипеда - ромб с периметром 40 см. Одна из диагоналей ромба равно12см. Найдите объем параллепипеда, если его большая диагональ равна 20 см...3)
боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью  основания угол 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Пожалуста фотку с тетради

Answer 1

1) Из прямоугольного треугольника АС₁С, острый угол 45°, значит треугольник прямоугольный равнобедренный:
АС=СС₁=9√2/2=4,5√2
H=CC₁=4,5√2
Треугольник АВС - равнобедренный, прямоугольный.
АВ=ВС=4,5
V=S(осн)·H=1/2 AB·BC·H=729√2/8 куб. ед

2) В основании ромб ( см. рис.) Р=4a  ⇒   4a=40   ⇒    a=10
 Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения  делятся пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АОD
По теореме Пифагора  АО²= AD²-DO²=10²-6²=100-36=64=8²
Значит,  АС= 16 см  - это бОльшая диагональ, а BD=12 см - мЕньшая
Из треугольника АСС₁  по  теореме Пифагора:
СС₁²=АС₁²-АС²=20²-16²=(20-16)(20+16)=4·36=144=12²
CC₁=12
V=S(осн)·H= (1/2) AC·BD·CC₁=(1/2)·12·16·12=1152  куб. см

3) Пирамида правильная, в основании равносторонний треугольник.
     Проекция вершины D - точка О (центр вписанной окружности)
     Из прямоугольного треугольника  ADO:
     Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы
     АО=3 см    АО=R=3 cм
     ВО²=АВ²-АО²=6²-3²=27
     ВО=3√3 см
      H=BO=3√3 cм

   Площадь равностороннего треугольника равна
   $S= frac{ a^{2} sqrt{3} }{4}$
$R= frac{acdot acdot a}{4S}= frac{a ^{3}cdot4 }{4cdot a ^{2} sqrt{3} }= frac{a}{ sqrt{3} } Rightarrow a=R sqrt{3}=3 sqrt{3}$

$V= frac{1}{3}cdot Scdot H= frac{1}{3}cdot frac{(3 sqrt{3}) ^{2} sqrt{3} }{4} cdot 3 sqrt{3}= frac{81}{4}$  куб. см