Question

(1+tg^2x)sinx-tg^2x+1=0
отобрать корни (-3;2)

Answer 1

$(1+tg^2x)sin x-tg^2x+1=0~~~|cdot cos^2xne 0\ \ (cos^2x+sin^2x)sin x-sin^2x+cos^2x=0\ \ sin x-sin^2x+1-sin^2x=0\ \ -2sin^2x+sin x+1=0\ \ 2sin^2x-sin x-1=0$

Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно sin x

$D=(-1)^2-4cdot2cdot(-1)=1+8=9\ \ sin x= dfrac{1+3}{2cdot2}=1 ;~~~~Rightarrow~~~~ x_1= dfrac{pi}{2}+ 2pi k,k in mathbb{Z} \ \ sin x= dfrac{1-3}{2cdot2}=-0.5;~~~Rightarrow~~~~ x_2=(-1)^{k+1}cdot dfrac{pi}{6}+ pi k,k in mathbb{Z}$

Осталось отобрать корни из (-3;2) и при $pi approx3.14$

Для корня $x=dfrac{pi}{2}+ 2pi k,k in mathbb{Z}$

Если $k=0$, то $x= dfrac{pi}{2}= 1.57in (-3;2).$

Для корня $x=(-1)^{k+1}cdot dfrac{pi}{6}+ pi k,k in mathbb{Z}$

Если $k=0$, то $x=-dfrac{pi}{6}approx-0.5in(-3;2).$

Если $k=-1$, то $x=dfrac{pi}{6}- pi =-dfrac{5pi}{6}approx-2.6in(-3;2).$