Ответы
Ответ дал:
0
Так как
![frac{ pi }{2}< frac{ pi }{6} - alpha < pi, frac{ pi }{2}< frac{ pi }{6} - alpha < pi,](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7B+pi+%7D%7B2%7D%26lt%3B+frac%7B+pi+%7D%7B6%7D+-+alpha+%26lt%3B+pi%2C+)
то
![frac{ pi }{2}- frac{ pi }{6}< - alpha < pi- frac{ pi }{6}, \ frac{ 2pi }{6}< - alpha < frac{5 pi }{6}, \ -frac{ 5pi }{6}< alpha < - frac{2 pi }{6} frac{ pi }{2}- frac{ pi }{6}< - alpha < pi- frac{ pi }{6}, \ frac{ 2pi }{6}< - alpha < frac{5 pi }{6}, \ -frac{ 5pi }{6}< alpha < - frac{2 pi }{6}](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7B+pi+%7D%7B2%7D-+frac%7B+pi+%7D%7B6%7D%26lt%3B+-+alpha+%26lt%3B+pi-++frac%7B+pi+%7D%7B6%7D%2C+%5C+frac%7B+2pi+%7D%7B6%7D%26lt%3B+-+alpha+%26lt%3B+++frac%7B5+pi+%7D%7B6%7D%2C+%5C+-frac%7B+5pi+%7D%7B6%7D%26lt%3B++alpha+%26lt%3B+-++frac%7B2+pi+%7D%7B6%7D+)
Угол α в четвертой четверти и косинус имеет знак +
Применим формулу
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
![sin( frac{ pi }{6}- alpha)=sin frac{ pi }{6} cdot cos alpha - cos frac{ pi }{6} cdot sin alpha = frac{cos alpha }{2} - frac{sin alpha sqrt{3} }{2} sin( frac{ pi }{6}- alpha)=sin frac{ pi }{6} cdot cos alpha - cos frac{ pi }{6} cdot sin alpha = frac{cos alpha }{2} - frac{sin alpha sqrt{3} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=sin%28++frac%7B+pi+%7D%7B6%7D-+alpha%29%3Dsin+frac%7B+pi+%7D%7B6%7D+cdot+cos+alpha+-+cos+frac%7B+pi+%7D%7B6%7D+cdot+sin+alpha+%3D+frac%7Bcos+alpha+%7D%7B2%7D+-+frac%7Bsin+alpha++sqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+)
Решаем уравнение
![frac{cos alpha }{2} - frac{sin alpha sqrt{3} }{2} = frac{2 sqrt{2} }{3} frac{cos alpha }{2} - frac{sin alpha sqrt{3} }{2} = frac{2 sqrt{2} }{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7Bcos+alpha+%7D%7B2%7D+-+frac%7Bsin+alpha++sqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+%3D+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B3%7D+)
Умножаем на 6 и заменим синус и косинус по формуле половинного аргумента
![3cos alpha -3 sqrt{3}sin alpha =4 sqrt{2}, \ 3(cos ^{2} frac{ alpha }{2}-sin ^{2} frac{ alpha }{2} )-6 sqrt{3}sin alphacdot cos alpha =4 sqrt{2} (cos ^{2} frac{ alpha }{2}+sin ^{2} frac{ alpha }{2} ) \ 3cos alpha -3 sqrt{3}sin alpha =4 sqrt{2}, \ 3(cos ^{2} frac{ alpha }{2}-sin ^{2} frac{ alpha }{2} )-6 sqrt{3}sin alphacdot cos alpha =4 sqrt{2} (cos ^{2} frac{ alpha }{2}+sin ^{2} frac{ alpha }{2} ) \](https://tex.z-dn.net/?f=3cos+alpha+-3+sqrt%7B3%7Dsin+alpha+%3D4+sqrt%7B2%7D%2C+%5C+3%28cos+%5E%7B2%7D++frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D-sin+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+%29-6+sqrt%7B3%7Dsin+alphacdot+cos+alpha+%3D4+sqrt%7B2%7D++%28cos+%5E%7B2%7D++frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D%2Bsin+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+%29+++%5C+++)
![3(cos ^{2} frac{ alpha }{2}-sin ^{2} frac{ alpha }{2} )-6 sqrt{3}sin frac{ alpha }{2} cdot cos frac{ alpha }{2} =4 sqrt{2} (cos ^{2} frac{ alpha }{2}+sin ^{2} frac{ alpha }{2} ) 3(cos ^{2} frac{ alpha }{2}-sin ^{2} frac{ alpha }{2} )-6 sqrt{3}sin frac{ alpha }{2} cdot cos frac{ alpha }{2} =4 sqrt{2} (cos ^{2} frac{ alpha }{2}+sin ^{2} frac{ alpha }{2} )](https://tex.z-dn.net/?f=3%28cos+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D-sin+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+%29-6+sqrt%7B3%7Dsin+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+cdot+cos++frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D++%3D4+sqrt%7B2%7D+%28cos+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D%2Bsin+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+%29)
![(3-4 sqrt{2}) cos ^{2} frac{ alpha }{2}-6 sqrt{3}sin frac{ alpha }{2} cdot cos frac{ alpha }{2} -(3+4 sqrt{2}) sin ^{2} frac{ alpha }{2} =0 (3-4 sqrt{2}) cos ^{2} frac{ alpha }{2}-6 sqrt{3}sin frac{ alpha }{2} cdot cos frac{ alpha }{2} -(3+4 sqrt{2}) sin ^{2} frac{ alpha }{2} =0](https://tex.z-dn.net/?f=%283-4+sqrt%7B2%7D%29+cos+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D-6+sqrt%7B3%7Dsin+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+cdot+cos++frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D++-%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29+sin+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+%3D0)
Однородное уравнение второй степени, делим на cos²(α/2)
![(3-4 sqrt{2}) -6 sqrt{3}tg frac{ alpha }{2} -(3+4
sqrt{2})tg ^{2} frac{ alpha }{2} =0, \(3+4 sqrt{2})tg ^{2} frac{
alpha }{2} +6 sqrt{3}tg frac{ alpha }{2} -(3-4 sqrt{2})=0 \
D=(6 sqrt{3}) ^{2}+4(3+4 sqrt{2})(3-4 sqrt{2}) =108+4(9-32)=16 (3-4 sqrt{2}) -6 sqrt{3}tg frac{ alpha }{2} -(3+4
sqrt{2})tg ^{2} frac{ alpha }{2} =0, \(3+4 sqrt{2})tg ^{2} frac{
alpha }{2} +6 sqrt{3}tg frac{ alpha }{2} -(3-4 sqrt{2})=0 \
D=(6 sqrt{3}) ^{2}+4(3+4 sqrt{2})(3-4 sqrt{2}) =108+4(9-32)=16](https://tex.z-dn.net/?f=+%283-4+sqrt%7B2%7D%29+-6+sqrt%7B3%7Dtg+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+++-%283%2B4+%0Asqrt%7B2%7D%29tg+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+%3D0%2C+%5C%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29tg+%5E%7B2%7D+frac%7B+%0Aalpha+%7D%7B2%7D+%2B6+sqrt%7B3%7Dtg++frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+-%283-4+sqrt%7B2%7D%29%3D0++%5C++%0AD%3D%286+sqrt%7B3%7D%29+%5E%7B2%7D%2B4%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29%283-4+sqrt%7B2%7D%29+%3D108%2B4%289-32%29%3D16)
![tg frac{ alpha }{2}= frac{-6 sqrt{3}-4 }{2(3+4 sqrt{2}) } , \ tg frac{ alpha }{2}= frac{-6 sqrt{3}+4 }{2(3+4 sqrt{2}) } tg frac{ alpha }{2}= frac{-6 sqrt{3}-4 }{2(3+4 sqrt{2}) } , \ tg frac{ alpha }{2}= frac{-6 sqrt{3}+4 }{2(3+4 sqrt{2}) }](https://tex.z-dn.net/?f=tg+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D%3D+frac%7B-6+sqrt%7B3%7D-4+%7D%7B2%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29+%7D+%2C+%5C++tg+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D%3D+frac%7B-6+sqrt%7B3%7D%2B4+%7D%7B2%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29+%7D+)
![cos alpha = frac{1-tg frac{ alpha }{2} ^{2} }{1+tg ^{2} frac{ alpha }{2} } cos alpha = frac{1-tg frac{ alpha }{2} ^{2} }{1+tg ^{2} frac{ alpha }{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=cos+alpha+%3D+frac%7B1-tg++frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D+%5E%7B2%7D+%7D%7B1%2Btg+%5E%7B2%7D+frac%7B+alpha+%7D%7B2%7D++%7D+)
![cos alpha = frac{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}-(6 sqrt{3}+4) ^{2} }{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}+(6 sqrt{3}+4) ^{2}}= \ frac{40+96 sqrt{2} -48 sqrt{3} }{288+96 sqrt{2}+48 sqrt{3} } cos alpha = frac{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}-(6 sqrt{3}+4) ^{2} }{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}+(6 sqrt{3}+4) ^{2}}= \ frac{40+96 sqrt{2} -48 sqrt{3} }{288+96 sqrt{2}+48 sqrt{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=cos+alpha+%3D+frac%7B4%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29+%5E%7B2%7D-%286+sqrt%7B3%7D%2B4%29+%5E%7B2%7D++%7D%7B4%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29+%5E%7B2%7D%2B%286+sqrt%7B3%7D%2B4%29+%5E%7B2%7D%7D%3D+%5C++frac%7B40%2B96+sqrt%7B2%7D+-48+sqrt%7B3%7D+%7D%7B288%2B96+sqrt%7B2%7D%2B48+sqrt%7B3%7D++%7D++)
или
![cos alpha = frac{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}-(6 sqrt{3}-4) ^{2} }{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}+(6 sqrt{3}-4) ^{2}}= \ frac{40+96 sqrt{2} +48 sqrt{3} }{288+96 sqrt{2}-48 sqrt{3} } cos alpha = frac{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}-(6 sqrt{3}-4) ^{2} }{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}+(6 sqrt{3}-4) ^{2}}= \ frac{40+96 sqrt{2} +48 sqrt{3} }{288+96 sqrt{2}-48 sqrt{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=cos+alpha+%3D+frac%7B4%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29+%5E%7B2%7D-%286+sqrt%7B3%7D-4%29+%5E%7B2%7D++%7D%7B4%283%2B4+sqrt%7B2%7D%29+%5E%7B2%7D%2B%286+sqrt%7B3%7D-4%29+%5E%7B2%7D%7D%3D+%5C++frac%7B40%2B96+sqrt%7B2%7D+%2B48+sqrt%7B3%7D+%7D%7B288%2B96+sqrt%7B2%7D-48+sqrt%7B3%7D++%7D++)
2 способ
Неравенство относительно угла α, полученное в первом решении остается справедливым.
Считая, что угол в 4 четверти находим решение уравнения
![frac{ pi }{6} - alpha = pi -arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}+2 pi k,kin Z frac{ pi }{6} - alpha = pi -arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}+2 pi k,kin Z](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7B+pi+%7D%7B6%7D+-+alpha+%3D+pi+-arcsin+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B3%7D%2B2+pi+k%2Ckin+Z+)
Возьмём только одно значение
![alpha =arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}- frac{5 pi }{6} , \ cos alpha =cos(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}- frac{5 pi }{6})= \ =cos(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3})cos frac{5 pi }{6}+sin(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3})sin frac{5 pi }{6} = \ =- frac{1}{3}cdot frac{ sqrt{3} }{2} + frac{2 sqrt{2} }{3}cdot frac{1}{2}= frac{2 sqrt{2}-3 }{6} alpha =arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}- frac{5 pi }{6} , \ cos alpha =cos(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}- frac{5 pi }{6})= \ =cos(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3})cos frac{5 pi }{6}+sin(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3})sin frac{5 pi }{6} = \ =- frac{1}{3}cdot frac{ sqrt{3} }{2} + frac{2 sqrt{2} }{3}cdot frac{1}{2}= frac{2 sqrt{2}-3 }{6}](https://tex.z-dn.net/?f=+alpha+%3Darcsin+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B3%7D-+frac%7B5+pi+%7D%7B6%7D+%2C+%5C+cos+alpha+%3Dcos%28arcsin+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B3%7D-+frac%7B5+pi+%7D%7B6%7D%29%3D+%5C+%3Dcos%28arcsin+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B3%7D%29cos+frac%7B5+pi+%7D%7B6%7D%2Bsin%28arcsin+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B3%7D%29sin+frac%7B5+pi+%7D%7B6%7D+%3D+%5C+%3D-+frac%7B1%7D%7B3%7Dcdot+frac%7B+sqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+%2B+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B3%7Dcdot+frac%7B1%7D%7B2%7D%3D+frac%7B2+sqrt%7B2%7D-3+%7D%7B6%7D+++)
то
Угол α в четвертой четверти и косинус имеет знак +
Применим формулу
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
Решаем уравнение
Умножаем на 6 и заменим синус и косинус по формуле половинного аргумента
Однородное уравнение второй степени, делим на cos²(α/2)
или
2 способ
Неравенство относительно угла α, полученное в первом решении остается справедливым.
Считая, что угол в 4 четверти находим решение уравнения
Возьмём только одно значение
Ответ дал:
0
ход решения правильный ... а ответы все можно подогнать ...
Ответ дал:
0
корень из двух минус корень из трех деленная на шесть
Ответ дал:
0
Тогда получается отрицательное значение, и угол альфа в третьей или второй четверти, что противоречит условию. Проверьте условие задачи еще раз
Ответ дал:
0
нет все правильно я проверила
Ответ дал:
0
спасибо большое )))
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад