Question

в прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу равна 24, радиус описанного круга 25. Найти периметр треугольника

Answer 1

На гипотенузе отмечена точка центра окружности описанной. Гипотенуза равна в 2 раза радиуса
$c=2R=2*25=50$ - гипотенуза
$S= frac{c*h}{2} = frac{50*24}{2} =600$ кв. ед.
Упростим периметр
$P=a+b+c \ P= sqrt{(a+b)^2} +c \ P= sqrt{a^2+b^2+2ab} +c \ P= sqrt{c^2+4S} +c \ P= sqrt{50^2+4*600}+50=120$

Ответ: 120.

Answer 2

Вариант решени. 
Пусть дан треугольник АВС.
Угол С=90°
СН - высота=24
R=25
Радиус окружности,  описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. 

АВ=2R=2*25=50

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой:

СН²=АН*ВН
ВН=АВ-АН
Примем АН равной х, тогда ВН=50-х
24²=х*(50-х)
576=50х-х² 
х²-50х+576=0
Дискриминант равен:
D=b² -4ac=-50² -4·576=196
х₁=(50+√196):2=32
х₂=(50-√196):2=18
Оба корня равны частям АВ.
АН=32
ВН=18

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. 

Найдем АС:
 АС²=АВ*АН
АС²=50*32=1600
АС=√1600=40
ВС²=АВ*ВН
ВС²=50*18=900
ВС=30
Р=30+40+50=120