Question

Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3/5.

Answer 1

Канонический вид эллипса имеет вид:

$frac{ x^{2} }{a^2}+ frac{y^2}{b^2}=1$

Нужно найти а и b.

Найдем фокальное расстояние $c= frac{F_1F_2}{2}$.
$F_1F_2=6 =>c= frac{6}{2}=3$.
Зная, что $varepsilon = frac{3}{5}, varepsilon = frac{c}{a} =>a= frac{c}{varepsilon}=3: frac{3}{5}=3* frac{5}{3}=5 \ a=5$

Зная формулу нахождения b, получим:
$b= sqrt{a^2-c^2}= sqrt{5^2-3^2}= sqrt{25-9}= sqrt{16}=4 \ b=4$

Теперь можем составить каноническое уравнение эллипса:
$frac{x^2}{5^2} + frac{y^2}{4^2} =1 \ \ frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} =1$