Question

Докажите, что n^3+3n^2+5n+3  при любом натуральном n делится на 3

Answer 1

$n^3+3n^2+5n+3, \ n=1, n^3+3n^2+5n+3=1^3+3cdot1^2+5cdot1+3=1+3+5+3=12, \ 12 vdots3.$
Пусть $n=k, n^3+3n^2+5n+3=k^3+3k^2+5k+3 vdots3.$
$n=k+1, n^3+3n^2+5n+3=(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)+3 =\=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5+3 =\= (k^3+3k^2+5k+3)+3k^2+9k+9 =\= (k^3+3k^2+5k+3)+3(k^2+3k+3), \ (k^3+3k^2+5k+3)+3(k^2+3k+3) vdots3;$
Согласно ММИ $n^3+3n^2+5n+3 vdots3 forall xin N.$