Question

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции
равна 19. Найдите её среднюю линию.

Answer 1

ΔABD = ΔDCA по трем сторонам  (AD - общая, АВ = CD так как трапеция равнобедренная, BD = СA как диагонали равнобедренной трапеции)
⇒ ∠CAD = ∠BDA, тогда ΔAOD равнобедренный, прямоугольный.

Так как АС = BD и АО = OD, то и ОС = ОВ.
⇒ ΔВОС равнобедренный, прямоугольный.

Проведем высоту КН через точку пересечения диагоналей.
ОК - высота и медиана равнобедренного треугольника ВОС,
ОН - высота и медиана равнобедренного треугольника AOD.

ОК = ВС/2 как медиана, проведенная к гипотенузе,
ОН = AD/2как медиана, проведенная к гипотенузе.
⇒ КН = (AD + BC)/2,
средняя линия треугольника равна полусумме оснований, значит
средняя линия равна высоте и равна 19 см.