Question

Нужно решить и сделать полный анализ.
y=4x/(x+1) То что в скобках еще и в квадрате

Answer 1

$f(x)= frac{4x}{(x+1)^2}, \ 1) x+1neq0, xneq-1, \ D_y=(-infty;-1)cup(-1;+infty); \ y= frac{4x}{(x+1)^2}, \ y(x^2+2x+1)=4x, \ yx^2+2yx-4x+y=0, \ yx^2+2(y-2)x+y=0, \ D=(y-2)^2-y^2=y^2-4y+4-y^2=4(1-y), \ D geq 0, 1-y geq 0, y leq 1, \ E_y=(-infty; 1); \ 2) x=0, y=0, \ y=0, frac{4x}{(x+1)^2}=0, 4x=0, x=0, \ (0;0); \ 3) f(-x)= frac{-4x}{(-x+1)^2}, \ f(-x) neq f(x), f(-x) neq -f(x);$
ни четная ни нечетная;
$4) ygtrless0, frac{4x}{(x+1)^2}gtrless0, \ x(x+1)^2gtrless0, \ x>0, xin(0;+infty) y>0, \ x<0, xin(-infty;-1)cup(1;0) y<0; \ 5) f'(x)=(frac{4x}{(x+1)^2})'= frac{4x'(x+1)^2-4x((x+1)^2)'}{(x+1)^4}=frac{4(x+1)^2-8x(x+1)(x+1)'}{(x+1)^4}=\=frac{4(x+1)^2-8x(x+1)}{(x+1)^4}=frac{4(x+1)(x+1-2x)}{(x+1)^4}=frac{4(1-x)}{(x+1)^3}; \ x+1 neq 0, x neq -1; \ f'(x)=0, frac{4(1-x)}{(x+1)^3}=0, x=1,$
x=-1 - точка разрыва,
х=1 - критическая точка,
$6) f'(x)gtrless0, frac{4(1-x)}{(x+1)^3}gtrless0, \ (1-x)(x+1)^3gtrless0, \ (x-1)(x+1)^3lessgtr0, \ x<-1, xin(-infty;-1), y'<0, ysearrow, \ -1<x<1, xin(-1;1), y'>0, ynearrow, \ x>1, xin(1;infty), y'<0, ysearrow,$
x=1 - точка максимума, 
$f''(x)= (frac{4(1-x)}{(x+1)^3})'=4 frac{(1-x)'(x+1)^3-(1-x)((x+1)^3)'}{(x+1)^6}=\=4 frac{-(x+1)^3-3(1-x)(x+1)^2(x+1)'}{(x+1)^6}=-4 frac{(x+1)^3+3(1-x)(x+1)^2}{(x+1)^6} =\=frac{-4(x+1)^2(x+1+3-3x)}{(x+1)^6}=frac{-4(4-2x)}{(x+1)^4}=frac{8(x-2)}{(x+1)^4}, \f''(x)gtrless0, frac{8(x-2)}{(x+1)^4}gtrless0, \ (x-2)(x+1)^4gtrless0, \ x<-1,  y''<0, ysmallfrown, \ -1<x<2, y''<0, ysmallfrown, \ x>2, y''>0, ysmallsmile,$
x=2 - точка перегиба.