Question

Найдите все положительные решения неравенства
x^2y+xy^2+x+y<=4xy

Answer 1

$x^2y+xy^2+x+yleq 4xy;\x^2y-4xy+xy^2+x+yleq 0;\xy(x-4+y)+x+yleq 0$
Поскольку нужны только положительные решения, то x и y не равны 0. Разделим всё на xy:
$x-4+y+frac{1}{x}+frac{1}{y}leq 0;\x+frac{1}{x}+y+frac{1}{y}leq 4;$
Но неравенство о средних гласит, что сумма двух обратных чисел не меньше двух (а у нас две пары, так что не меньше 4), а равенство достигается только при единице. Т.е. x = y = 1 - единственное положительное решение