Question

помогите! дали д/з с подвохом. :с

1. придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него - целые числа?
2. найдите сумму: 100^2-99^2+98^2-97$2+...+2^2-1^2.
3. встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Федота Бурчеева, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым - нет.
6. был квадратный трёхчлен х^2+10x+12. За один ход разрешается менять на единицу свободный член или коэффициент при х. После нескольких таких операций получили трехчлен х^2+12x+10. Докажите, что в некоторый момент был трехчлен с целым корнем.

Answer 1

1. Это число 33,(3).
2. Применим формулу разность квадратов: 
$100^2-99^2+98^2-97^2+ldots+2^2-1^2=\=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+ldots+(2+1)(2-1)=\=199+195+ldots+3$
Это арифметическая прогрессия из 50 членов с шагом -4
$a_1=199,;d=-4,;a_{50}=3\S_{50}=frac{a_1+a_{50}}2cdot n=frac{199+3}2cdot50=101cdot50=5050$
3. Пусть всего x друзей, не считая Федота. Они совершили $frac{x(x-1)}2$ рукопожатий. По условию
$frac{x(x-1)}2<197\x^2-x<394\x^2-x-394<0\x^2-x-394=0\D=1577approx(39,7)^2\x_1=20,35\x_2=-19,35;-;HE;nogx.$
x - натуральное число, поэтому
$xleq20$
Если друзей не считая Федота было 20, то ими было совершено 20*(20-1)/2 = 190 рукопожатий. Федот пожал руку 197-190 = 7 раз.
Если их было 19, то рукопожатий было 19*(19-1)/2 = 171. Выходит, что Федот пожал руку 197-171 = 26 раз. Не подходит.
При x<19 Федот будет жать всё больше и больше рук.
Ответ: он пожал 7 рук.

6. Пусть в данный момент коэффициент при x равен p, а свободный член равен q. Дискриминант равен $p^2-4q$. Для того, чтобы корень уравнения был целым числом нужно, чтобы дискриминант был равен квадрату целого числа. По условию задачи $p^2$ может быть равно 100, 121 или 144, 4q может быть равно 40, 44 или 48. Из всех вариантов дискриминант будет квадратом целого числа при $p=11,;q=10$ и при $p=12,;q=11$
По теореме Виета 
$begin{cases}x_1+x_2=-p\x_1x_2=qend{cases}$
Очевидно, что если при целых p и q один корень целый, то и второй должен быть целым. В таком случае равенство $x_1x_2=11$ выполняться не будет.
Значит, p = 11, q = 10.