Question

2. Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте.

Answer 1

1 способ.

Данную сумму можно рассматривать, как сумму арифметической прогрессии с первым членом  a₁=1   и разностью  d=1. Прогрессия содержит 2007 членов.

$S_n=dfrac{a_1+a_n}2cdot n;\\S_{2007}=dfrac {1+2007}2cdot 2007=1004cdot 2007$

Произведение 1004·2007 делится на 2007, так как содержит множитель 2007.

----------------------------------------------------------

2 способ.

Так как слагаемых до числа 2007 чётное количество(2006), то сумму можно собрать в пары, отделив число 2007 :

1 + 2 + 3 +...+ 2005 + 2006 + 2007 =

= (1+2006)+(2+2005)+...+(1002+1005)+(1003+1004) + 2007 =

= 2007 + 2007 + ... + 2007 + 2007 + 2007

В такой записи каждое слагаемое делится на 2007, значит, и вся сумма тоже делится на 2007.