Question

Довести що функції f(х) і ф(х) при х→0 нескінченно малі одного порядку f(x)= arctq^2 3x; ф(х)= 4х^2

Answer 1

Рассмотрим предел при х стремящемся к нулю отношения этих двух функций:

$lim_{x to 0} frac{f(x)}{varphi (x)}=lim_{x to 0} frac{arctg^2(3x)}{4x^2}$

 

Согласно правилу Лопиталя предел отношения функций равен пределу  отношения их производных. Применим это правило дважды:

$lim_{x to 0} frac{f(x)}{varphi (x)}=frac{3}{4}lim_{x to 0} frac{arctg(3x)}{9x^3+x}=\ =frac{3}{4}lim_{x to 0} frac{3}{243x^4+36x^2+1}=frac{3}{4} cdot 3=frac{9}{4}$ 

 

 Поскольку предел отношения двух функций конечен и не равен нулю, функции имеют один порядок малости.